Как доказать что группа является подгруппой

В математике, особенно в абстрактной алгебре, понятие группы играет фундаментальную роль. Группы, состоящие из множества элементов и операции, удовлетворяющей определенным аксиомам, предоставляют мощный инструмент для изучения симметрии и структуры. Подгруппа, являясь подмножеством группы, наследует её свойства и позволяет углубиться в анализ исходной группы.

В этой статье мы подробно разберем, как доказать, что данное множество является подгруппой группы. Мы рассмотрим основные определения, проанализируем критерии подгруппы и проиллюстрируем их на конкретных примерах.

1. Что такое группа
2. Что такое подгруппа
3. Как доказать, что множество является подгруппой
4. Примеры доказательства
5. Пример 2: Докажем, что множество матриц вида
7. B = [ 1 b ]
10. Заключение
11. Надеемся, что эта информация поможет вам глубже разобраться в этой теме! 😊
12. FAQ

Что такое группа

Прежде чем погружаться в дебри подгрупп, давайте освежим в памяти определение группы.

Группа — это непустое множество G с заданной на нем бинарной операцией ⋅, удовлетворяющей следующим аксиомам:

1. Замкнутость: Для любых двух элементов a и b из G, результат операции a ⋅ b также принадлежит G.
2. Ассоциативность: Для любых трех элементов a, b и c из G выполняется равенство (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
3. Нейтральный элемент: Существует элемент e в G, называемый нейтральным элементом, такой, что для любого элемента a из G выполняется равенство a ⋅ e = e ⋅ a = a.
4. Обратный элемент: Для любого элемента a из G существует элемент a⁻¹ в G, называемый обратным элементом к a, такой, что a ⋅ a⁻¹ = a⁻¹ ⋅ a = e.

Примеры групп:

• Множество целых чисел ℤ с операцией сложения +
• Множество ненулевых рациональных чисел ℚ \ {0} с операцией умножения ×
• Множество всех перестановок конечного множества с операцией композиции перестановок

Что такое подгруппа

Подгруппа — это непустое подмножество H группы G, которое само образует группу относительно той же операции, что и G.

Другими словами, подмножество H группы G является подгруппой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Замкнутость относительно операции: Для любых двух элементов a и b из H, результат операции a ⋅ b также принадлежит H.
2. Наличие нейтрального элемента: Нейтральный элемент e группы G также принадлежит H.
3. Наличие обратных элементов: Для любого элемента a из H, его обратный элемент a⁻¹ в G также принадлежит H.

Как доказать, что множество является подгруппой

Существует несколько способов доказать, что данное множество H является подгруппой группы G. Рассмотрим два наиболее распространенных:

1. Проверка по определению:

Этот способ предполагает непосредственную проверку всех трех условий из определения подгруппы:

• Замкнутость: Берем два произвольных элемента a и b из H и доказываем, что их произведение a ⋅ b также принадлежит H.
• Нейтральный элемент: Доказываем, что нейтральный элемент e группы G принадлежит H.
• Обратные элементы: Берем произвольный элемент a из H и доказываем, что его обратный элемент a⁻¹ в G также принадлежит H.

2. Критерий подгруппы:

Этот способ позволяет упростить доказательство, используя следующее утверждение:

> Непустое подмножество H группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда для любых двух элементов a и b из H, элемент a ⋅ b⁻¹ также принадлежит H.

Таким образом, для доказательства, что H — подгруппа, достаточно проверить только одно условие — замкнутость относительно операции взятия произведения элемента на обратный к другому элементу.

Примеры доказательства

Пример 1: Докажем, что множество четных чисел 2ℤ является подгруппой группы целых чисел ℤ по сложению.

Доказательство:

• Замкнутость: Сумма двух четных чисел всегда является четным числом.
• Нейтральный элемент: Нейтральный элемент группы ℤ — это 0, и он является четным числом.
• Обратные элементы: Обратным элементом к четному числу -2k является четное число 2k.

Таким образом, множество четных чисел 2ℤ удовлетворяет всем условиям определения подгруппы и, следовательно, является подгруппой группы ℤ.

Пример 2: Докажем, что множество матриц вида

[ 1 a ]

[ 0 1 ],

где a — любое вещественное число, образует подгруппу группы всех невырожденных матриц 2x2 с вещественными коэффициентами GL(2, ℝ) относительно операции умножения матриц.

Доказательство (с использованием критерия подгруппы):

Возьмем две произвольные матрицы A и B из данного множества:

A = [ 1 a ]

[ 0 1 ],

B = [ 1 b ]

[ 0 1 ].

Тогда обратная матрица к B имеет вид:

B⁻¹ = [ 1 -b ]

[ 0 1 ].

Вычислим произведение A ⋅ B⁻¹:

A ⋅ B⁻¹ = [ 1 a ] ⋅ [ 1 -b ] = [ 1 a-b ]

[ 0 1 ] [ 0 1 ] [ 0 1 ].

Полученная матрица также принадлежит данному множеству, так как a — b — вещественное число.

Следовательно, по критерию подгруппы, данное множество матриц является подгруппой группы GL(2, ℝ).

Заключение

Понимание понятия подгруппы и умение доказывать, что данное множество является подгруппой, — важные навыки в изучении абстрактной алгебры.

В этой статье мы рассмотрели основные определения и методы доказательства, а также разобрали illustrative examples.

Надеемся, что эта информация поможет вам глубже разобраться в этой теме! 😊

FAQ

• Что такое абелева группа?

Абелева группа — это группа, в которой операция коммутативна, то есть a ⋅ b = b ⋅ a для любых элементов a и b из группы.

• Может ли подгруппа быть пустой?

Нет, по определению подгруппа — это непустое подмножество группы.

• Может ли группа быть подгруппой самой себе?

Да, любая группа является подгруппой самой себе.

• Всегда ли пересечение двух подгрупп является подгруппой?

Да, пересечение любого количества подгрупп группы всегда является подгруппой.

• Всегда ли объединение двух подгрупп является подгруппой?

Нет, объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержит другую.